تبلیغات
ریاضیات الفبای کتاب آفرینش - حدس گلد باخ
 
نوشته شده توسط : KH- E-M
گلد باخ ریاضی دان المانی بود كه در سال 1750 در روسیه زندگی میكرد

کریستین گلدباخ

حدس او در مورد اعداد زوج:
هر عدد زوج بالاتر از 4 حاصل جمع دو عدد اول است
48=11+37......................18=11+7......................20=17+3.......

حدس او در مورد اعداد فرد:
هر عدد فرد بزرگتر از 5 را میتوان به صورت حاصل جمع سه عدد اول نوشت.
9=2+2+5......................13=3+3+7.......

این پزشک متوجه حقیقت جالبی شده بود و آن هم این بود که هر عدد زوج را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. (البته عدد یک را به این خاطر از مجموعه اعداد اول کنار گذاشتند که صورت مسئله های نظریه اعداد کوتاه تر شود. زیرا اگر این کار را نمی کردند بایستی در اکثر صورت مسئله های مربوط به اعداد اول می نوشتند: "به غیر از یک") اکنون به دلیل همین موضوع عدد 2 از حدس گلدباخ خارج شده است. گلدباخ هم عصر با اویلر بود. پس از تلاش فراوان و نا امید شدن از اثبات این حدس، گلدباخ از اویلر خواست تا مسئله را برایش حل کند. اویلر یکی از برجسته ترین شخصیت های ریاضی آن زمان بود. نه اویلر و نه هیچیک از شاگردانش نتوانستند این مسئله را حل کنند. تا اینکه حدود 6 سال پیش یک موسسه انتشاراتی در انگلستان به نام "تونی سیبر" برای کسی که بتواند این مسئله را حل کند مبلغ یک میلیون دلار جایزه تعیین کرد.  این حدس توسط کامپیوترهای پیشرفته برای اعداد زوج بسیار بسیار بزرگی تست شده و جالب اینست که تا کنون هیچ مثال نقضی برای آن یافت نشده است. گاهی اوقات فاصله شهود انسان تا لحظه اثبات یک مسئله آنقدر زیاد می شود که نسلها می آیند و می روند ولی همچنان حقیقت درباره مسئله ای مانند حدس گلد باخ نامشخص می ماند. شاید حل نشدن این مسئله به این خاطر باشد که با اعداد اول سر و کار دارد. زیرا خود مجموعه اعداد اول نیز ساختار جبری معینی ندارد. در سال ۱۷۴۲ گلدباخ طی نامه ای به اویلر می نویسد: ” به نظر می رسد که هر دو عدد زوج بزرگتر از ۲ را بتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.” این ادعای گلدباخ به حدس گلدباخ شهرت یافت و در این دو نیم قرن اخیر پایه و موضوع تحقیقات گسترده ای شده است.هاروی ریاضیدان برجسته انگلیسی تصریح می کند که حدس گلدباخ یکی از دشوارترین مسائل حل نشده ریاضیات است.
حدس گلدباخ: هر عدد صحیح زوج بزرگتر از ۲ را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.
محاسبات عددی درستی این حدس را نشان می دهند كه به طرق متعددی می توان اعداد زوج را به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. در سال ۱۹۷۳ چن نشان داد که اعداد زوج به اندازه کافی بزرگ را می توان به صورت p+m نوشت كه در آن p عددی اول و m عددی اول یا حاصل ضرب دو عدد اول است. گلدباخ حدس زد كه هر عدد فرد بزرگتر از ۷ را می توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.هر چند كه این مساله هنوز باز است اما وینوگراف در سال ۱۹۳۷ نشان داد كه همه اعداد فرد مثبت بزرگتر از ۳۳۱۵ را می توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت. اما از لحاظ تئوری نتایج باید روی همه اعداد فرد مثبت مورد بررسی قرار گیرد.

حدس گلدباخ دیگر یک حدس نیست!!!

هارالد هلفگات1 ریاضی دان اکول نرمال سوپریور در پاریس و برنده جایزه وایت‌هد از انجمن ریاضی لندن در سال 2010، برهان یک مساله در نظریه اعداد به قدمت 271 سال را ارائه نمود.

در سال 1742 کریستین گلدباخ2 (ریاضی دان آلمانی) حدس زد که هر عدد زوج بزرگتر از 2 مجموع دو عدد اول است (که لزوماً متفاوت نیستند). این مطلب به حدسیه‌ی گلدباخ یا حدسیه‌ی دوتایی معروف است و بی درنگ حدسیه‌ی ضعیف گلدباخ یا حدسیه‌ی سه تایی را نتیجه می دهد، یعنی هر عدد فرد بزرگتر از 5 مجموع سه عدد اول است ( برای مشاهده‌ی این موضوع، کافی است عدد اول 3 را از هر عدد فرد کسر کنید تا عدد زوجی به دست آید که طبق حدسیه‌ی دوتایی باید بتوانید آن را به صورت مجموع دو عدد اول دیگر بنویسید). اخیراً هلفگات نشان داده است که در واقع حدسیه‌ سه تایی گلدباخ درست است.

متخصصین نظریه‌ی اعداد سال‌های زیادی است که روی این مساله کار کرده‌اند و نتایج قابل توجهی در این زمینه به دست آمده است که به برهان هلفگات نیز کمک کرده است. در سال 1923 هاردی3 و لیتل‌وود4 دریافتند که اگر حدسیه‌ی تعمیم یافته ریمان (GRH) دست باشد، آنگاه حدسیه‌ی سه تایی گلدباخ برای اعداد به قدر کافی بزرگ درست است. چهارده سال بعد، ریاضی دان روسی ایوان وینوگرادوف5 نشان داد، حتی بدون GRH حدسیه‌ سه تایی گلدباخ برای اعداد فرد «به قدر کافی بزرگ» درست است. این نتیجه به قضیه وینوگرادوف معروف شد وای این که اندازه‌ی «به قدر کافی بزرگ» چیست مشخص نبود تا این که در سال 1956 بوروزکین6 نشان داد که عدد $10^{6846169}$ برای این منظور کافی است. در سال 2002، مینگ-چیت7 و تیان-ز8 «به قدر کافی بزرگ» را به حدود $2\times 10^{1346}$ کاهش دادند، ولی این عدد هنوز از نظر محاسباتی قابل دسترسی نبود. ضمناً در سال 1997، مجدداً با فرض درستی GRH، دزولیه9، افینگر10، ت ریل11 و زینو ویف12 توانستند «به قدر کافی بزرگ» را تا جائی کاهش دهند که قادر باشند استثناهای احتمالی توسط کامپیوتر را حذف نمایند. پیشرفت های دیگری نیز حاصل شد، به‌طور مثال در 1995 اولیویر رامار13 در لیل فرانسه نشان داد هر عدد زوج مجموع حداکثر 6 عدد اول است، که نتیجه می دهد هر عدد فرد مجموع حداکثر 7 عدد اول است، و در سال 2012 ترنس تائو14 از دانشگاه کالیفرنیا در لوس آنجلس، این تعداد را به 5 عدد اول کاهش داد.

هارالد هلفگات

هارالد هلفگات

در رهیافت هلفگات با استفاده از روش دایره‌ای هاردی-لیتل‌وود-وینوگرادوف، مساله در قالب یک انتگرال بیان می شود که در این صورت می تواند به شکل تحلیلی تقریب زده شود. با مدیریت دقیق این فرآیند پیچیده، هلفگات نتیجه‌ای را به دست آورد که هنوز به درستی GRH متکی بود، ولی تا یک عددی، و این نتیجه برای اعداد «به قدر کافی بزرگ» معتبر بود، اما حالا به قدر کافی بزرگ (تقریباً) $10^{30}$ بود.

برای تحقیق درستی GRH در دامنه مورد نیاز، هلفگات همکاری دیوپلات از دانشگاه بریستول را به خدمت گرفت. با استفاده از الگوریتم‌هایی که پلات در دوره دکتری خود، تحت راهنمایی آندرو بوکر به دست آورده بود او توانست بررسی کند که 38 تریلیون ریشه $L$-تابع‌های دیریکله، همگی قسمت حقیقی یک دوم دارند، که درستی GRH را در دامنه مورد نیاز هلفگات و – حتی فراتر از آن را – مهیا می سازد. در پایان، برای زیرمجموعه محاسبات مورد نیاز هلفگات در واقع حدود 100/000 ساعت صرف شد، ولی کل محاسبات عموماً در حوزه نظریه تحلیلی اعداد مفید خواهد بود.

برای قطعه‌ی نهایی معما، بررسی این گزاره که همه اعداد فرد کمتر از $10^{30}$ را می توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت، مورد نیاز بود. با استفاده از یک نتیجه قبلی توماس اولیویر و سیلو از دانشگاه آویرو و به کارگیری 40/000 ساعت محاسبه کامپیوتری دیگر، هلفگات و پلات توانستند این موضوع را به تایید برسانند.

همان‌گونه که دیو پلات15 می گوید، «محاسبات شش هفته قبل، پس از به کارگیری 440/000 ساعت کار توسط کامپیوترها در بریستول، واریک و فرانسه کامل شد. جالب است که می بینیم درستی حدسیه سه تایی ثابت شد. آنجه هارالد به آن دست یافته است، یک موفقیت شگرف است و من خوشحالم که در این راستا سهمی داشته‌ام.»

حال با برقراری حدسیه‌ی سه تایی شانس دست یابیی به حدسیه‌ی دوتایی چقدر است؟ دیوپلات معتقد است دست‌یابی به حدسیه‌ی دوتایی احتمالاً تا مدت زمانی بسیار طولانی میسر نخواهد بود.

لینک مقاله هارالد هلفگات
منبع: خبرنامه انجمن ریاضیی ایران، شماره137، پاییز 1392
 



:: مرتبط با: ماهیت ریاضیات ,
:: برچسب‌ها: حدس گلد باخ , مسائل حل نشده ریاضی ,
تاریخ انتشار : پنجشنبه 11 آبان 1391 | نظرات
می توانید دیدگاه خود را بنویسید
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نظرات پس از تایید نشان داده خواهند شد.
 
   
.قرآن.سوره اعراف. با بیم و امید خدا را بخوانید كه رحمت‏ خدا به نیكوكاران نزدیك است.